مروری بر اثبات های مختلف از قضیه بورسوک-اولام

قضیه بورسوک -اولام به دلیل داشتن اثبات های مختلف، کاربردهای جالب و متنوع و قضیه های هم ارز با آن یکی از مهمترین ابزار توپولوژی جبری است که در کلی ترین فرم خود می گوید که هر تابع پیوسته ‎$f:mathbb{s}^nlongrightarrowmathbb{r}^n$‎ لااقل دو نقطه متقاطر را به یک مقدار می نگارد. و در حالت پیشرفته تر آن بیان می کند هر نگاشت فرد از ‎$mathbb{s}^{n-1}longrightarrow mathbb{s}^{n-1}$‎ درجه فرد دارد. ‎‎ گزاره های هم ارز با قضیه بورسوک-اولام به این صورت است ‎egin{itemize}‎ ‎item[•]‎ برای هر نگاشت فرد پیوسته ‎$ f:mathbb{s}^nlongrightarrow mathbb{r}^n$‎، ‎$ xinmathbb{s}^n$‎ به طوری که ‎$ f(x)=0$‎. ‎item[•]‎ نگاشت متقاطر از ‎$f:mathbb{s}^nlongrightarrow mathbb{s}^{n-1}$‎ وجود ندارد. ‎item[•]‎ نگاشت پیوسته ‎$f:b^nlongrightarrow mathbb{s}^{n-1}$‎ وجود ندارد که روی مرز آن متقاطر باشد. ‎end{itemize}‎ قضیه هام ساندویچ ‎ltrfootnote{ham sandwich}‎ و نقطه ثابت بروئر ‎ltrfootnote{brouwer fixed-point}‎ از کاربردهای مهم قضیه بورسوک-اولام است ما در این پایان نامه با دیدگاه توپولوژی جبری به اثبات این قضیه می پردازیم.